Родился близ Вологды. Учился в школе в Вологде, в 1926 году поступил на агрономический факультет Тимирязевской академии в Москве. Окончил Академию в 1930 году, после чего стал сотрудником Института лугов и пастбищ, участвовал в Дальневосточной экспедиции, проводимой этим институтом.

С 1934 года Тихомиров учился в аспирантуре Ботанического института АН СССР, в 1935 году ему была присвоена степень кандидата биологических наук. Также в 1935 году Б. А. Тихомиров вместе с Борисом Николаевичем Городковым ездил в экспедицию в Якутию.

В 1944 году стал доктором биологических наук.

В 1946—1949 годах он участвовал в нескольких экспедициях на Таймыр.

С 1952 года Б. А. Тихомиров руководил сектором растительности Севера отдела геоботаники БИН, впоследствии — лабораторией Крайнего Севера. В 1966 году Тихомиров организовал в посёлке Тарея на западе Таймыра Таймырский биогеоценологический стационар.

Длительное время преподавал в Петрозаводском государственном университете, с 1955 года — в Ленинградском государственном университете.

С 1957 года был вице-президентом Всесоюзного ботанического общества, с 1964 по 1968 год являлся заместителем главного редактора «Ботанического журнала».

Скончался 4 июля 1976 года.