Родился в крестьянской семье. В 21 год был призван на военную службу, попросился во флот. В 1897–1900 гг. служил на учебном парусно-паровом судне матросом и боцманматом в Атлантическом океане, трижды ходил из Кронштадта к Антильским островам.

В должности боцмана участвовал в высокоширотной экспедиции Э. В. Толля на парусно-моторной шхуне «Заря» по изучению Новосибирских островов (1900–1902). Экспедиция закончилась гибелью барона Толля и трёх его спутников по санно-байдарочной партии, но Бегичев и основная часть экспедиции вернулись на материк.

В 1903 году Бегичев участвовал в поисках Толля. Санно-шлюпочная экспедиция под руководством лейтенанта А. В. Колчака на десяти нартах и вельботе достигла острова Беннетта (один из островов Де-Лонга). При переходе по морскому льду Бегичев спас жизнь Колчаку, провалившемуся под лед, когда они втроем обследовали остров Беннета.

В 1904 году участвовал в обороне Порт-Артура на миноносце «Бесшумный» в должности боцмана. Был со всей командой интернирован в Циндао, куда в августе 1904 года миноносец прорвался из японской блокады.

После войны вернулся в Царёв, женился, но летом 1906 г. уехал на север, в район нижнего течения Енисея, где исследовал полуостров Таймыр. В 1908 г. в устье рек Хатанги и Анабара, впадающих в море Лаптевых, открыл два острова, впоследствии названные его именем — Большой Бегичев и Малый Бегичев.

В 1915 г. возглавил доставку почты и эвакуацию на оленях части моряков с барка «Эклипс», отправленного на поиски пропавших экспедиций Брусилова и Русанова, а затем с застрявших во льдах у северо-западных берегов Таймыра ледокольных пароходов гидрографической экспедиции «Таймыр» и «Вайгач». Маршрут каравана из примерно 500 оленей пролегал по неизученной территории, до этого не посещавшейся европейскими путешественниками.

В 1916 г. поселился в Дудинке.

С 1921 г. участвовал в советско-норвежской экспедиции по поискам Тессема и Кнудсена (пропавших на Таймыре членов экспедиции Руаля Амундсена 1918-1920 гг.), обнаружил останки одного из них. В 1922 г. в экспедиции геолога Н. Н. Урванцева спустился на лодке по реке Пясине и на берегу острова Диксон нашёл скелет другого спутника Амундсена.

В 1925 г. организовал промысловую артель по добыче морского зверя. Весной 1926 г. артель сплавилась вниз по р. Пясина на промысел морского зверя и песца. Год от группы не было никаких известий, летом 1927 г. пятеро вернувшихся промысловиков рассказали, что он умер от цинги на зимовке, расположенной на устье р. Пясина в 8,5 км на запад (на картах отмечено как "развалины избушки Бегичева"), где и был похоронен. На этом месте туристами был установлен памятник из вертикально поставленных бревен, а останки Бегичева были перенесены в поселок Диксон и в 1964 захоронены под бетонным монументом.