3 мая 1904 г. окончил Императорскую военно-медицинскую академию в СПб. Получил первое назначение – младшим врачом 15-го флотского экипажа.

27 января 1904 г. началась Русско-японская война, в которой И. И. довелось принять активное участие.12 июня 1904 г. его назначили в плавание на крейсер 1 ранга «Дмитрий Донской», который 2 октября в составе 2-й Тихоокеанской эскадры, вышел из Либавы в поход, закончившийся катастрофой Цусимы 14–15 мая.

Спасшиеся с русских кораблей моряки попали в плен. Не исключено, что там Тржемесский мог общаться с командиром «Буйного» – лейтенантом Н. Н. Коломейцевым (1867–1944) – участником Русской полярной экспедиции под руководством барона Э. В. Толля в 1900–1901 гг., а впоследствии командиром ледокола «Ермак». Возможно, что именно знакомство с влюбленным в Арктику Н. Н. Коломейцевым и привело в дальнейшем И. И. в высокие широты.

12 августа 1905 г. вернулся из плена и был прикомандирован для исполнения ординаторских обязанностей к Морскому госпиталю порта в Либаве.

В начале ноября 1906 г. перевели в 9-й флотский экипаж, а в следующем году он впервые отправился в арктическое плавание. С 1 марта по 15 октября 1907 г. его служба проходила на транспорте "Бакан", чьей главной задачей являлась охрана морских промыслов и борьба с браконьерами в западном секторе Арктики.

16 сентября 1911 г. И. И. списали с 3-го дивизиона 1-й Минной дивизии «с прикомандированием к Санкт-Петербургскому порту для держания экзамена и защиты диссертации на степень доктора медицины». Темой диссертации стали «Исследование и оценка с гигиенической точки зрения одежды нижних чинов русского флота». Вернувшись после защиты (1913) в действующий флот, не оставил научной деятельности и активно публиковался в журнале «Морской врач».

В 1914 г. И. И. отправился в Арктику в качестве представителя Морского ведомства и врача в экспедиции О. Свердрупа. Ранее, с 23 мая 1914 г., его прикомандировали к Главному гидрографическому управлению. В экспедиции Тржемесский находился с 27 мая 1914 г. по 5 октября 1915 г. О его деятельности в этом походе подробно написано в книге О. Свердрупа и в отчете самого Тржемесского. «За отлично-усердную службу и труды, понесенные в экспедиции для поисков лейтенанта Брусилова и геолога Русанова» 12 ноября 1915 г. наградили орденом Святого Владимира 4-й степени.

Вернувшись из Арктики, продолжил службу на Балтийском флоте. 18 ноября 1915 г. он получил назначение на линейный корабль «Севастополь». 23 ноября 1915 г. назначен младшим врачом 1-го Балтийского флотского экипажа. 8 мая 1917 г. назначен заведующим санитарной частью Отряда судов Ботнического залива.

Сведений о нем в период революционных событий 1917 г., Гражданской войны, а также о его дальнейшей судьбе, выявить пока не удалось. Известно лишь, что на 13 декабря 1918 г. он числился членом «Вольного союза русских офицеров армии и флота в США», находившемся в Нью-Йорке. Отсутствует информация и о его потомках. Супруга – Елена Тржемесская скончалась 15 февраля 1909 г.